複数量子ビット状態と量子もつれ

学習目標

• テンソル積で2量子ビット状態を構成できる。
• |00>, |01>, |10>, |11> の基底順序を一貫して使える。
• H の後に CNOT を適用してベル状態を作る過程を追える。
• もつれ相関を、超光速通信と混同せず説明できる。

アリス、双子の観測所へ入る

単一量子ビットは、「状態は隠れたビットではない」と教えてくれました。2量子ビットはさらに踏み込みます。組になった状態は、必ずしも「1つ目の状態」と「2つ目の状態」の寄せ集めではありません。全体として初めて正しく記述できる模様が現れます。

量子もつれは、後に続くプロトコル、アルゴリズム、ハードウェアを理解するための重要な土台です。ここでは「不思議なつながり」という曖昧な言葉で終わらせず、状態ベクトルを使って相関とその限界を説明します。

前提の復習

必要なのは次の4点です。

1. 純粋状態は規格化された振幅ベクトルである。
2. 理想回路のゲートは線形でユニタリである。
3. 測定確率は、選んだ基底での振幅の絶対値二乗から得られる。
4. 相対位相は、1つの測定基底では見えなくても後の操作で意味を持つ。

結合状態空間

2量子ビットの計算基底は4つあります。

$$|00\rangle,\quad |01\rangle,\quad |10\rangle,\quad |11\rangle.$$

この講座では、特に断らない限りこの順序を使います。一般の2量子ビット純粋状態は

$$|\psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

と書け、規格化条件は

$$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = 1$$

です。

テンソル積

1つ目の量子ビットが $|\alpha\rangle=x|0\rangle+y|1\rangle$、2つ目が $|\beta\rangle=u|0\rangle+v|1\rangle$ のとき、独立な結合状態はテンソル積で表します。

$$|\alpha\rangle\otimes|\beta\rangle = xu|00\rangle + xv|01\rangle + yu|10\rangle + yv|11\rangle.$$

たとえば

$$|+\rangle\otimes|0\rangle = \frac{|00\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}$$

です。これは2つの単一量子ビット状態の積として作られたので、分離可能です。しかし、4つの振幅を持つ状態がすべてこの形になるわけではありません。

制御ゲート

制御ゲートは、制御量子ビットに応じて標的量子ビットへの作用が変わるゲートです。最初に重要なのは CNOT です。1つ目を制御、2つ目を標的にすると、

$$|00\rangle\mapsto|00\rangle,\quad |01\rangle\mapsto|01\rangle,\quad |10\rangle\mapsto|11\rangle,\quad |11\rangle\mapsto|10\rangle$$

です。線形性により、この規則は重ね合わせの各基底成分へ適用されます。$|00\rangle$ から始め、1つ目に H を作用させると

$$(H\otimes I)|00\rangle = \frac{|00\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}.$$

そこへ CNOT を作用させると

$$\mathrm{CNOT}\frac{|00\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}.$$

1. 1

   |00> を準備する

2. 2

   1つ目に H を作用させる: (|00> + |10>)/sqrt(2)

3. 3

   1つ目を制御、2つ目を標的に CNOT を作用させる: (|00> + |11>)/sqrt(2)

4. 4

   両方を測定すると 00 または 11 だけが出る

ゲート列は決定論的です。最後の測定だけが確率的ですが、結果は完全に相関します。

ベル状態

$$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$$

はベル状態です。これは $(x|0\rangle+y|1\rangle)\otimes(u|0\rangle+v|1\rangle)$ という形には分解できません。積状態なら振幅は $xu, xv, yu, yv$ です。$|\Phi^+\rangle$ では $|01\rangle$ と $|10\rangle$ の振幅が0なので $xv=0$ と $yu=0$ が必要です。一方で $|00\rangle$ と $|11\rangle$ の振幅は0でないため、$xu\neq0$ と $yv\neq0$ も必要です。これらは同時に満たせません。

この純粋2量子ビット状態は量子もつれ状態です。組全体の状態は明確にありますが、単一量子ビット純粋状態の積では表せません。

古典的な共有コイン

• 測定前から確定した共有値として記述できる。
• 1つの基底で結果が一致し得る。
• 結合状態の相対位相を必要としない。

ベル状態

• 1つの結合量子状態で記述する。
• 局所純粋状態の積ではない。
• 複数の測定基底を適切に選ぶとベル不等式を破り得る。

どちらにも相関はあります。非古典的ベル相関の実証には、1基底での一致以上の測定が必要です。

計算例：分離可能性の判定

純粋2量子ビット状態 $a|00\rangle+b|01\rangle+c|10\rangle+d|11\rangle$ について、この基底順序では

$$ad=bc$$

が分離可能性の便利な判定条件です。この等式が成り立つとき、かつそのときに限り積状態です。$(|00\rangle+|01\rangle)/\sqrt{2}$ では両辺が0で、$|0\rangle|+\rangle$ と因数分解できます。$|\Phi^+\rangle$ では $ad=1/2$、$bc=0$ なので、もつれています。この簡便な判定は2量子ビット純粋状態に固有であり、混合状態のもつれにはより慎重な道具が必要です。

よくある誤解

ガイド付き演習

$|0\rangle=(|+\rangle+|-\rangle)/\sqrt{2}$、$|1\rangle=(|+\rangle-|-\rangle)/\sqrt{2}$ を使い、$|\Phi^+\rangle$ を X 基底で書き直します。交差項が打ち消し合い、$(|++\rangle+|--\rangle)/\sqrt{2}$ が残ります。したがって X 基底でも結果は一致します。以下の演習では、この基底依存の構造を制御可能な通信の主張と区別します。

章末評価

次へ進む前に、$|00\rangle$ からベル状態を導出し、基底順序を明示し、Z 基底確率を計算し、それが分離可能な積状態でない理由を説明できるようにしましょう。

理解度チェック

基底順序を |00>, |01>, |10>, |11> とすると、(|00> + |11>)/sqrt(2) を表すベクトルはどれか。

[1/sqrt(2), 0, 0, 1/sqrt(2)][0, 1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0][1/2, 1/2, 1/2, 1/2][1, 0, 0, 0]

答えを確認もう一度

まとめ

次の一歩

量子情報プロトコルが使う共有状態を説明できるようになりました。第6章では、複製不可能性、テレポーテーション、超密符号化を厳密な回路として扱います。

参考文献と発展学習

• Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
• John Preskill, Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation.
• IBM Quantum Learning, Quantum information for multiple systems.