量子の国のアリスのロゴ
第 4

量子ゲート

状態ベクトルに作用するユニタリ操作

X、Z、H を、量子ビット状態に作用する理想的なユニタリ演算として学びます。

静的な状態を、制御された変換へ進めます。

公開中28 分基礎
ユニタリ演算子パウリ X ゲートパウリ Z ゲートアダマールゲート可逆性

学習目標

  • 理想的な単一量子ビットゲートを、状態ベクトルに作用する2x2ユニタリ行列として表現できる。
  • X、Z、H が計算基底状態と一般の重ね合わせにどう作用するかを予測できる。
  • 理想回路のゲートがユニタリである理由を説明し、ノイズを含む物理発展と区別できる。
この章の内容

学習目標

  • 理想的な単一量子ビットゲートを、状態ベクトルに作用する2x2ユニタリ行列として表現できる。
  • X、Z、H が計算基底状態と一般の重ね合わせにどう作用するかを予測できる。
  • ユニタリな回路操作が可逆である理由を説明し、そのモデルをノイズを含む物理発展と区別できる。
  • ゲートを適用することと測定を行うことを区別できる。

アリス、鍛冶場へ戻る

アリスは第1章で出会った装置のもとへ戻るが、今度は目盛りを読むためのダイヤルではなく、レバーの一式を手渡される。レバーを引くことは、状態を見て数値を報告することではない。理想回路モデルでは、各入力状態を、ランダムな結果を生まずに定まった出力状態へ変換する。同じ入力なら毎回同じ出力状態になる。案内役はこれらのレバーをゲートと呼び、レバーを引くことと測定することを混同しないよう注意する。

その注意こそが本章の要点である。理想ゲートとは演算子であり、ある状態ベクトルを別の状態ベクトルへ変える固定された規則である。決定論的で、測定とは異なり逆演算を持つ。ただし実験装置での実装にはノイズがあり得る。第8章では、あらゆる物理過程を完全なユニタリゲートとみなさず、開放系の振る舞いを量子チャネルで記述する。

ゲートはスイッチではなく演算子である

単一量子ビットゲートは、行列の掛け算によって状態ベクトルに作用する 2x2 行列 U である。

∣ψ′⟩=U∣ψ⟩.|\psi'\rangle = U|\psi\rangle.

これは通常の線形代数なので、ゲートは計算基底状態 |0⟩ と |1⟩ に対して何をするかによって完全に決まる。U|0⟩ と U|1⟩ さえ分かれば、線形性により任意の振幅について U(α∣0⟩+β∣1⟩)=αU∣0⟩+βU∣1⟩U(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle) = \alpha U|0\rangle + \beta U|1\rangle が成り立つ。

パウリ X ゲートと Z ゲート

パウリ X ゲートは古典的な NOT の量子版であり、計算基底状態を入れ替える。

X=[0110],X∣0⟩=∣1⟩,X∣1⟩=∣0⟩.X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad X|0\rangle = |1\rangle, \qquad X|1\rangle = |0\rangle.

パウリ Z ゲートは |0⟩ をそのままにし、|1⟩ に -1 を掛ける。

Z=[100−1],Z∣0⟩=∣0⟩,Z∣1⟩=−∣1⟩.Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad Z|0\rangle = |0\rangle, \qquad Z|1\rangle = -|1\rangle.

-|1⟩ と |1⟩ は同じ計算基底確率を与えるため、Z は基底状態に対して「実質的に何もしていない」ように見える。しかし、重ね合わせに対する Z の作用は見かけほど些細ではない。∣+⟩=(∣0⟩+∣1⟩)/2|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2} に Z を適用すると、

Z∣+⟩=∣0⟩−∣1⟩2=∣−⟩.Z|+\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}} = |-\rangle.

∣+⟩|+\rangle と ∣−⟩|-\rangle は同じ計算基底確率を与えるが、これらは異なる、区別可能な状態である。第3章で導入した X 基底で測定すると、∣+⟩|+\rangle は決定論的に「+」を、∣−⟩|-\rangle は決定論的に「-」を与える。Z は一方をもう一方へと変えた。第2章が無視してはいけないと警告した相対位相こそ、Z がまさに作用する対象である。

確認問題

X|0⟩ は何か?

行列としてのアダマールゲート

第2章では、アダマールゲートを測定結果への影響として導入した。行列表現はその影響を正確にする。

H=12[111−1],H∣0⟩=∣+⟩,H∣1⟩=∣−⟩.H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad H|0\rangle = |+\rangle, \qquad H|1\rangle = |-\rangle.

H をもう一度適用すると最初の適用が打ち消される。H∣+⟩=∣0⟩H|+\rangle = |0\rangle、H∣−⟩=∣1⟩H|-\rangle = |1\rangle なので、H2=IH^2 = I(単位行列)であり、H は自分自身の逆演算である。

State form

H|ψ⟩ = H(α|0⟩ + β|1⟩) = α|+⟩ + β|-⟩

線形性により H を項ごとに適用でき、その後 |+⟩ と |-⟩ を計算基底で展開し直すことで新しい振幅を読み取れる。

短い単一量子ビット回路
  1. 1

    |0⟩ を準備する

  2. 2

    X を適用し、|1⟩ を得る

  3. 3

    H を適用し、|-⟩ を得る

  4. 4

    計算基底で測定する: 50/50 だが、測定前の状態は任意の 50/50 状態ではなく |-⟩ だった

最後の一手を除き、各ステップは決定論的なゲートであり、系列中で唯一の確率的な操作が測定である。

なぜ理想回路のゲートはユニタリなのか

すべての行列が有効な量子ゲートというわけではない。行列 U は、U†U=IU^\dagger U = I を満たすときユニタリと呼ばれる。ここで U†U^\dagger は U の共役転置である。ユニタリ行列は状態ベクトルの長さを保つため、規格化された入力状態はゲート適用後も規格化されたままであり、全確率は必ず1のまま保たれる。

ユニタリ条件

U†U=IU^\dagger U = I

理想的な単一量子ビット回路ゲートはすべてこれを満たす。

ユニタリ性はまた、すべての理想ゲートに逆演算が存在することも意味する。U−1=U†U^{-1} = U^\dagger であり、その逆演算自体もユニタリである。したがって理想ゲート列の合成ユニタリには逆回路を構成できる。一方、ノイズ、損失、リセット、測定はより一般の物理操作であり、対象とする系の上で可逆とは限らない。

ゲートと測定の比較

ゲートの適用

  • 理想モデルでは、同じ入力状態は同じ変換後の出力状態を与える。
  • ユニタリで可逆であり、逆演算もユニタリである。
  • それ自体では古典的な結果を生成しない。

測定の実行

  • 確率的: 結果はボルン則に従う。
  • 可逆ではない。測定後の状態は他の情報を捨てている。
  • 選んだ基底で一つの古典的な結果を生成する。

回路には多数のゲートを自由に組み合わせられるが、測定は異なる規則を持つ別種のステップである。

理解度チェック

なぜ理想回路のゲートはユニタリでなければならないのか?

単一量子ビット回路の読み方

回路図は、通常 |0⟩ から始まる状態に適用されるゲートの系列として左から右へ読み、最後に任意の測定で終わる。ゲートは行列なので、複数のゲートを順に適用することは、対応する順序(右から左)で行列を掛け合わせることに対応する。「X を適用し、次に H を適用する」という回路は、単一の合成演算子 HX に対応し、HX∣0⟩HX|0\rangle は X と H を一段階ずつ適用したときと同じ結果を与える。

よくある誤解

理解度チェック

Z|+⟩ は何か?

まとめ

参考文献

章の演習

この章の内容を、短い対話型演習で練習します。

理解度チェックfoundation

ゲートと測定

ゲートのレバーを引くことと測定を行うことを区別する。

未開始

決して覗き込まないレバー

鍛冶場の案内人が、X と記されたレバーをアリスに手渡す。理想回路モデルでは、それを引いても数値を報告せず、読み込まれた各状態を定まった新しい状態へ写す。

「これは測定ではありません」と案内人は言う。「演算子です。他に触れる前に、二つの基底状態にそれが何をするかを見なさい。」

基底状態への X と Z の作用

パウリ X ゲートは計算基底状態を入れ替える。

X∣0⟩=∣1⟩,X∣1⟩=∣0⟩.X|0\rangle = |1\rangle, \qquad X|1\rangle = |0\rangle.

パウリ Z ゲートは ∣0⟩|0\rangle をそのままにし、∣1⟩|1\rangle の符号を反転させる。

Z∣0⟩=∣0⟩,Z∣1⟩=−∣1⟩.Z|0\rangle = |0\rangle, \qquad Z|1\rangle = -|1\rangle.

どちらの理想ゲートもランダムな古典結果を生まない。同じ入力状態は同じ変換後の出力状態を生む。

ゲートのレバーを引くことを正しく説明しているのはどれか?
X|1⟩ は何か?
    対話型の例foundation

    Z と相対位相

    Z ゲートが |+⟩ を |-⟩ に変える様子を確認する。

    未開始

    変わっていないように見えて、実は変わっている状態

    アリスは作業台に ∣+⟩|+\rangle を載せ、Z のレバーを引く。計算基底の確率バーは動かない — どちらも 50/50 のままだ。「何も起きていません」と彼女は言う。

    「鏡の基底でもう一度見てごらんなさい」と案内人は答える。「それでもまだそう思えるか。」

    Z は |+⟩ を |-⟩ に変える

    Z∣+⟩=Z(∣0⟩+∣1⟩2)=∣0⟩−∣1⟩2=∣−⟩.Z|+\rangle = Z\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right) = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}} = |-\rangle.

    ∣+⟩|+\rangle と ∣−⟩|-\rangle は同じ計算基底確率を持つが、X 基底(H を適用してから測定)で測定すると、∣+⟩|+\rangle は決定論的に「+」を、∣−⟩|-\rangle は決定論的に「-」を与える。Z は現実に測定可能な違いを生み出した。

      演習intermediate

      ユニタリ性と可逆性

      理想的なユニタリゲートが全確率を保存することを確認する。

      未開始

      すべてのレバーには双子がいる

      案内人は、最初の工房と同じだが、すべてのレバーが逆になっている第二の工房をアリスに見せる。「理想ゲート一つひとつに対して、それを打ち消すレバーがここに一つあります」と彼女は言う。「これは偶然ではありません。ユニタリ性から従います。」

      ユニタリ性は確率を保存する

      理想回路の単一量子ビットゲート UU はユニタリである: U†U=IU^\dagger U = I。ユニタリ行列はベクトルの長さを保つため、∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle がゲート適用前に規格化されていれば、ゲート適用後の新しい状態 U∣ψ⟩=α′∣0⟩+β′∣1⟩U|\psi\rangle = \alpha'|0\rangle + \beta'|1\rangle も規格化されたままである。

      ∣α∣2+∣β∣2=1  ⟹  ∣α′∣2+∣β′∣2=1.|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \implies |\alpha'|^2 + |\beta'|^2 = 1.

      U−1=U†U^{-1} = U^\dagger は存在し、それ自体もユニタリであるため、すべての理想ゲートは別の理想ゲートによって打ち消すことができる。ノイズや測定はより一般の物理操作であり、対象とする系の上で可逆とは限らない。

      全確率。0 から 1 の間。

        チャプター確認問題intermediate

        第4章 確認問題

        ゲート行列、ユニタリ性、ゲートと測定の違いを統合する。

        未開始

        二人目の守護者

        鍛冶場地区の端に、より背の高い守護者が立っている。「最初の守護者はあなたの単一量子ビットモデルの理解を試しました」とそれは言う。「私は、レバーと読み取りを見分けられるかを試します。」

        第4章のまとめ

        この地区を離れる前に、次の柱を確認しなさい。

        1. 理想ゲートは演算子である: 単一量子ビット回路ゲートは状態ベクトルへ決定論的に作用する2x2ユニタリ行列である。
        2. X と Z: X∣0⟩=∣1⟩X|0\rangle=|1\rangle、X∣1⟩=∣0⟩X|1\rangle=|0\rangle; Z∣0⟩=∣0⟩Z|0\rangle=|0\rangle、Z∣1⟩=−∣1⟩Z|1\rangle=-|1\rangle。
        3. ユニタリ性: 理想回路のゲートはすべて U†U=IU^\dagger U = I を満たし、規格化を保ち、逆演算の存在を保証する。
        復習 I — ゲートと測定を区別する正しい記述はどれか?
        復習 II — H と X をアダマールゲートとパウリ X ゲートとするとき、|0⟩ に HXH を適用すると何になるか?

        地区が開く

        守護者は脇へ退く。「あなたはレバーと読み取りを見分け、すべてのレバーに双子がいる理由を知っている。この先には量子もつれが待っており、レバーは一度に一つ以上の量子ビットに触れ始める。」

          章の完了

          完了した演習: 0/4

          次へ: 第 5章の評価を受ける基礎の累積評価