量子回路とプロトコル

学習目標

• 回路図のワイヤ、制御、測定、時間順序を読める。
• 線形性から複製不可能定理を説明できる。
• テレポーテーションを、量子もつれと2古典ビットを使うプロトコルとして追跡できる。
• テレポーテーションと超密符号化を、誇張せず比較できる。

アリス、プロトコル鉄道へ進む

前章では、2本のワイヤが1つの結合状態を共有できることを学びました。ここでは、そのワイヤが回路へ伸びます。回路図は粒子が管を流れる絵ではありません。状態発展、古典的な結果、条件つき操作を順序立てて書いた手順です。

前提の復習

H と CNOT が $|\Phi^+\rangle$ を作ること、測定が確率的であること、理想回路のゲートがユニタリであることを使います。この章では、それらをプロトコルとして読むための約束を加えます。

回路記法

多くの回路図は左から右へ読みます。水平線は量子ビットの時間発展を表します。箱はゲート、制御点と標的を結ぶ線は制御操作、メーター記号は古典ビットを生む測定を表します。

2量子ビット回路で1つ目に H を作用させる操作は $H\otimes I$ です。1つ目を制御、2つ目を標的とする CNOT は4次元のユニタリです。積を取るとベル状態が準備されます。

$$\mathrm{CNOT}(H\otimes I)|00\rangle = \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}.$$

複製不可能定理

古典ファイルはコピーできます。しかし、任意の未知の量子状態はコピーできません。もし万能な物理コピー操作が存在するなら、固定された空白レジスタや環境まで含めても線形性を保つ必要があります。理想的な閉鎖系として、その作用をユニタリ $U$ で

$$U|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle$$

が任意の $|\psi\rangle$ で成り立つと仮定します。特に

$$U|0\rangle|0\rangle=|0\rangle|0\rangle,\quad U|1\rangle|0\rangle=|1\rangle|1\rangle$$

です。すると線形性により

$$U|+\rangle|0\rangle = \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}$$

でなければなりません。しかし、$|+\rangle$ を2つコピーした状態は

$$|+\rangle|+\rangle = \frac{|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle}{2}$$

です。両者は異なります。これが複製不可能定理の直感です。既知の $|+\rangle$ を何度も準備することは禁じていません。禁じているのは、任意の未知入力を完全コピーする万能操作です。

テレポーテーション

量子テレポーテーションは、共有ベル対、ベル基底測定、2つの古典ビット、補正操作を使って未知の量子ビット状態を転送します。物質を瞬間移動させるわけでも、超光速通信をするわけでもありません。

Alice が $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ を Bob に送りたいとします。まず2人は $|\Phi^+\rangle$ を共有します。Alice は未知状態と自分のベル対半分に対してベル測定を行います。結果は2つの古典ビットです。Bob はそれに応じて $I$, $X$, $Z$, $XZ$ のいずれかを作用させます。補正後、Bob の量子ビットは $|\psi\rangle$ になります。

標準的な回路の1つでは、入力量子ビットを制御、Alice 側のベル対量子ビットを標的として CNOT を行い、入力へ H を適用してから両方を Z 基底測定します。その順で記録したビットを $(m_1,m_2)$ とすれば、Bob は $X^{m_2}Z^{m_1}$ を適用できます。図によって古典ビットの名前や順序が異なるため、補正表は規約と一緒に示して初めて意味を持ちます。両補正が必要な場合、$XZ$ と $ZX$ の違いは補正後状態の観測不能な大域位相だけです。

1. 1

   未知状態と共有ベル対

2. 2

   Alice 側2量子ビットのベル測定

3. 3

   2つの古典ビットを Bob へ送る

4. 4

   Bob が I, X, Z, XZ のいずれかを作用させる

5. 5

   Bob が元の状態を持つ。Alice 側の元状態は残らない

Alice の元状態は測定で消費されるため、複製不可能定理は破られません。

超密符号化

超密符号化は、資源の使い方が逆向きです。共有ベル対があらかじめあるとき、Alice は自分の量子ビットに $I$, $X$, $Z$, $XZ$ のいずれかを作用させて2古典ビットを符号化し、その量子ビットを Bob に送ります。Bob はベル基底測定で2ビットを復元します。

孤立した1量子ビットだけで2ビットを送っているわけではありません。事前共有されたもつれと、送信された1量子ビットを合わせて使っています。教科書的な説明はベル対、ゲート、通信路、ベル測定が理想的に動くと仮定します。物理実装では、もつれ配布、損失、ノイズ、復号誤りも数える必要があります。

計算例：$|+\rangle$ のテレポーテーション

ベル測定記録を $(m_1,m_2)=(1,0)$ とします。上の規約では、補正前の Bob の状態は $Z|+\rangle=|-\rangle$ です。$Z$ を適用すると $|+\rangle$ に戻ります。Alice が入力振幅を知る必要はなく、Bob は古典ビットが届くまで復元を完了できません。

よくある誤解

ガイド付き演習

テレポーテーションについて $(m_1,m_2)=00,01,10,11$ の4行の表を作り、$X^{m_2}Z^{m_1}$ を評価します。次に超密符号化の資源台帳を作ります。メッセージ前に準備するもの、通信路を物理的に通るもの、Bob の測定、消費される資源を記録してください。

章末評価

小さな回路を読み、複製不可能定理を線形性から説明し、テレポーテーションまたは超密符号化を正しい資源計算で説明できるようにしましょう。

理解度チェック

テレポーテーションを完了するために、Bob が受け取る必要がある情報はどれか。

何もない。もつれだけで十分。Alice のベル測定から得られる2つの古典ビット。alpha と beta の完全な古典的記述。未知量子ビットの2つ目のコピー。

答えを確認もう一度

まとめ

次の一歩

プロトコルを操作ごと、資源ごとに監査できるようになりました。第7章では、この回路技能を使い、明確に定義された計算問題へ干渉で答えるオラクル・アルゴリズムを構築します。

参考文献と発展学習

• Charles H. Bennett et al., "Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels".
• Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
• IBM Quantum Learning, Quantum teleportation および Superdense coding.