量子の国のアリスのロゴ量子の国のアリス

第 2

重ね合わせ

コヒーレンス・相対位相・干渉

重ね合わせをコヒーレントな線形結合として捉え、位相が後の操作に影響する理由を説明します。

量子状態が単なる測定確率の一覧ではないことを、位相を通して示します。

公開中26 分入門
重ね合わせ相対位相|+> と |->アダマールゲート干渉

学習目標

  • コヒーレントな重ね合わせと通常の古典的不確実性を区別できる。
  • |+> と |-> が同じ測定確率を持ちながら、後の振る舞いが異なる理由を説明できる。
  • アダマールゲートによる簡単な状態発展を追い、干渉を確認できる。
この章の内容

学習目標

  • 重ね合わせを、基底状態のコヒーレントな線形結合として定義する。
  • コヒーレントな重ね合わせと古典的な不確実性を区別する。
  • |+⟩、|−⟩、アダマールゲートを用いて位相に敏感な状態発展を追う。
  • 干渉を、確率ではなく確率振幅の足し合わせとして説明する。

道筋についての場面

アリスは観測室に戻り、0 と 1 と書かれた二つの通路を見つけます。案内役は、「アリスが小さな古典的人物として両方の通路を歩く」という説明を退けます。通路の名前は基底ラベルです。量子状態は、それらのラベルに対して確率振幅を持ち、後の操作によって振幅が強め合ったり打ち消し合ったりします。

比喩はここまでです。重ね合わせは「分身」ではなく、ベクトル空間の線形結合です。

線形結合としての重ね合わせ

第1章では、純粋な量子ビット状態を

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle

と書きました。選んだ基底で複数の振幅が非ゼロのとき、その状態をしばしば基底状態の重ね合わせと呼びます。

代表的な等しい重ね合わせは

∣+⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣−⟩=∣0⟩−∣1⟩2|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}

です。どちらも計算基底で測定すると (P(0)=P(1)=1/2) になります。しかし同じ状態ではありません。マイナス符号は相対位相を表し、後の操作で測定結果の差へ変換できます。

|+⟩ と |−⟩ の計算基底測定
0NaN%
1NaN%

棒グラフが同じでも、状態が物理的に同一とは限りません。この測定基底では相対位相が見えないだけです。

普通の不確実性ではない

古典的混合（classical mixture）では、半分の確率で ( |0\rangle ) を、半分の確率で ( |1\rangle ) を準備したが、どちらか知らない、という状況を表せます。これも計算基底測定では 50/50 です。しかし、二つの成分を結ぶ安定した相対位相はありません。

一方、( |+\rangle ) のようなコヒーレントな重ね合わせには相対位相があります。計算基底測定だけを見ると違いは隠れますが、測定前に別の量子ゲートを入れると差が現れます。

同じ確率に隠れた違い

古典的混合

  • 準備は |0⟩ または |1⟩ のどちらか。
  • 成分間に安定した相対位相はない。
  • 単一量子ビットの干渉は現れない。

コヒーレントな重ね合わせ

  • 一つの純粋状態が両方の基底成分を持つ。
  • 相対位相が状態の一部である。
  • 後のゲートで位相が測定確率へ変わる。

密度行列を使うとこの違いを厳密に表せますが、ここでは操作上の違いだけを見ます。

理解度チェック

|+⟩ と |−⟩ が同じ計算基底測定確率を持ちながら異なる状態である理由はどれですか。

相対位相

相対位相とは、状態の各成分の間にある位相差です。( |+\rangle ) では、( |0\rangle ) 成分と ( |1\rangle ) 成分の位相は同じです。( |-\rangle ) では、( |1\rangle ) 成分が ( \pi ) だけずれており、ここではマイナス符号として表れています。

大域位相は別物です。状態全体に (-1) を掛けた (-|+\rangle) は、通常の測定予測では ( |+\rangle ) と同じです。一部の成分だけが相対的に変わる場合には、物理的に意味のある差になります。

アダマールゲート

アダマールゲート (H) は、計算基底状態と ( |+\rangle, |-\rangle ) を結びつけます。

H∣0⟩=∣+⟩,H∣1⟩=∣−⟩H|0\rangle = |+\rangle, \qquad H|1\rangle = |-\rangle

また逆向きにも働きます。

H∣+⟩=∣0⟩,H∣−⟩=∣1⟩H|+\rangle = |0\rangle, \qquad H|-\rangle = |1\rangle

この式は、位相が飾りではないことを示しています。( |+\rangle ) と ( |-\rangle ) は H の前には同じ計算基底測定確率を持ちますが、H の後では一方が ( |0\rangle )、もう一方が ( |1\rangle ) になります。

H の後に H を作用させる
  1. 1

    |0⟩ から始める。

  2. 2

    H を作用させて |+⟩ を得る。

  3. 3

    もう一度 H を作用させると、振幅が干渉して |0⟩ に戻る。

二回目の H はランダムに結果を選ぶのではなく、振幅を再結合して |1⟩ 成分を打ち消します。

相対位相とアダマールゲート

計算基底での確率

050%
150%

H を作用させた後

0100%
10%

干渉

干渉とは、確率を計算する前に確率振幅が足し合わされることです。( |0\rangle ) から始めて H を二回作用させると、

∣0⟩→H∣0⟩+∣1⟩2→H∣+⟩+∣−⟩2=∣0⟩|0\rangle \xrightarrow{H} \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \xrightarrow{H} \frac{|+\rangle + |-\rangle}{\sqrt{2}} = |0\rangle

となります。( |1\rangle ) に向かう寄与は符号が逆なので打ち消し合います。これは破壊的干渉です。( |0\rangle ) に向かう寄与は強め合います。

理解度チェック

H|−⟩ は何になりますか。

理解度チェック

干渉を最もよく表す説明はどれですか。

まとめ

まとめ

  • 重ね合わせは、基底状態のコヒーレントな線形結合です。
  • ( |+\rangle ) と ( |-\rangle ) は同じ計算基底測定確率を持ちますが、相対位相が異なります。
  • 古典的混合は一つの測定分布をまねできますが、コヒーレントな位相を持ちません。
  • アダマールゲートは等しい重ね合わせを作り、また位相差を測定結果へ変換します。
  • 干渉は、確率を出す前に振幅が強め合ったり打ち消し合ったりする現象です。

参考文献と発展学習

  • Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
  • John Preskill, Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation.
  • Qiskit Textbook の単一量子ビットゲートと干渉に関する章。

章の演習

この章の内容を、短い対話型演習で練習します。

理解度チェック

コヒーレントな重ね合わせ

重ね合わせと古典的不確かさを区別する。

未開始

二つの通路、一つの状態

森には 0 と 1 とラベルの付いた二つの道があります。案内人は、小さな旅人が両方の道を同時に歩く絵を拒みます。

「ラベルは 基底ラベル です」と彼女は言います。「量子状態は両方に振幅を割り当てます。それが重ね合わせ — ベクトル空間の線形結合であり、古典的な優柔不断ではありません。」

線形結合としての重ね合わせ

任意の純粋量子ビットは次のように書けます：

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩.|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle.

両方の振幅が非ゼロのとき、状態は ∣0⟩|0\rangle と ∣1⟩|1\rangle の 重ね合わせ にあります。この言葉は状態ベクトルモデルにすでにある線形構造に名前を付けているだけ — 新しい種類の物体を追加するものではありません。

等しい重ね合わせには次が含まれます：

∣+⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣−⟩=∣0⟩−∣1⟩2.|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}.
コヒーレントな重ね合わせ（古典的不確実性ではない）を最もよく表すのはどれですか？

等しい確率、異なる構造

∣+⟩|+\rangle も ∣−⟩|-\rangle も計算基底では P(0)=P(1)=1/2P(0)=P(1)=1/2 です。しかし振幅間の 相対符号 が異なるため 異なる状態 です。この区別は、位相に敏感な操作 — アダマールなど — が適用されるまで隠れています。

位相の中で整列する道

森の道が一緒にきらめきます — 忘れた二つの古典的経路ではなく、振幅が後で強め合ったり打ち消したりする一つのコヒーレントな状態として。

    対話型の例

    相対位相

    相対位相が干渉に与える影響を調べる。

    未開始

    双子の反射

    位相の鏡は 同じ 計算基底確率 — 0 と 1 が fifty-fifty — を持つ二つの状態を映しますが、アダマールゲートの後の未来は異なります。

    「確率だけでは物語の全部は分かりません」と案内人はささやきます。「振幅間の 相対位相 を見なさい。」

    |+⟩ 対 |−⟩

    ∣+⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣−⟩=∣0⟩−∣1⟩2.|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}.

    どちらも計算基底で測定すると P(0)=P(1)=1/2P(0)=P(1)=1/2 を満たします。∣−⟩|-\rangle のマイナス符号は、∣1⟩|1\rangle 成分と ∣0⟩|0\rangle 成分の間の 相対位相 π\pi です。

    アダマールゲートはこの違いを明らかにします：

    H∣+⟩=∣0⟩,H∣−⟩=∣1⟩.H|+\rangle = |0\rangle, \qquad H|-\rangle = |1\rangle.
    Z 基底確率が同じでも、H の後に |+⟩ と |−⟩ はなぜ異なる結果になるのですか？

    鏡が晴れる

    エクスプローラーで ∣−⟩|-\rangle を準備し、H∣−⟩=∣1⟩H|-\rangle = |1\rangle を確認しました。鏡は二つの反射を同じものとはもう見なしません。

      演習

      アダマール変換

      H により計算基底と X 基底を結びつける。

      未開始

      振幅の交差点

      アダマールの渡し場では、道が再び結合します。案内人が苔むした石にゲートの作用を書きます：

      H∣0⟩=∣+⟩,H∣1⟩=∣−⟩.H|0\rangle = |+\rangle, \qquad H|1\rangle = |-\rangle.

      「位相が、再び出会ったとき振幅が 足されるか打ち消されるか を決めます」と彼女は言います。

      アダマールの作用と逆写像

      アダマールゲートは（大域位相を除き）自分自身の逆であり、計算基底と X 基底状態を結びます：

      H∣+⟩=∣0⟩,H∣−⟩=∣1⟩.H|+\rangle = |0\rangle, \qquad H|-\rangle = |1\rangle.

      ∣0⟩|0\rangle に HH を二回適用すると ∣0⟩|0\rangle に戻ります。中間の ∣+⟩|+\rangle の振幅が ∣0⟩|0\rangle で constructive、 ∣1⟩|1\rangle で destructive に干渉するためです：

      ∣0⟩→H∣+⟩→H∣0⟩.|0\rangle \xrightarrow{H} |+\rangle \xrightarrow{H} |0\rangle.
      H|−⟩ は何に等しいですか？

      干渉を一行で

      干渉 は確率を計算する 前の 振幅の加法です。constructive 干渉は道の振幅を増やし、destructive 干渉はゼロまで減らせます — ∣0⟩|0\rangle に HH を二回当てたとき ∣1⟩|1\rangle 成分が打ち消されるように。

      量子干渉を最もよく表す記述はどれですか？

      制御して渡る

      ゲートをランダムなコインではなく、振幅の再結合として扱い、アダマールの結果を予測しました。渡し場は先の双子状態の試練へ開きます。

        チャプター確認問題

        第2章 確認問題

        重ね合わせ、位相、アダマール、干渉を統合する。

        未開始

        映し合う状態が分岐する

        双子の台座には、計算基底統計では 同じ に見える — どちらも fifty-fifty — 二つの準備があります。しかしアダマードゲートの下では異なって進化します。

        「位相と干渉を通じて両方の状態を追いなさい」と森の番人は要求します。「測定の領域は、いい加減な重ね合わせの推論を許しません。」

        ボス総合 — 重ね合わせの森

        操作の連鎖を確認してください：

        1. 重ね合わせ： ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle、コヒーレントな相対位相付き。
        2. 等しい Z 確率： ∣+⟩|+\rangle と ∣−⟩|-\rangle はどちらも 50/50 だが符号が異なる。
        3. アダマール： H∣+⟩=∣0⟩H|+\rangle = |0\rangle、H∣−⟩=∣1⟩H|-\rangle = |1\rangle。
        4. 干渉： H(H∣0⟩)=∣0⟩H(H|0\rangle) = |0\rangle — 振幅が位相付きで再結合する。
        試練 I — |0⟩ から始め、H を二回適用。得られる状態は？（大域位相は無視）
        試練 II — 計算基底確率は同じだが相対位相が異なる組はどれですか？
        試練 III — H|1⟩ は何に等しいですか？

        双子の対称が破れる

        両方の双子をアダマール進化で追いました。森はあなたの位相航行を認め — 測定領域のボルン則の門が地平線上で光ります。

          章の完了

          完了した演習: 0/4

          次へ: 第 3